胜率、赔率与凯利公式：正期望为什么仍然可能亏钱

如果有人宣称交易胜率达到 90%，还缺少什么信息？至少要知道剩下 10% 会亏多少。九次小赚之后的一次大亏，完全可能抹去全部收益。

概率工具的价值，是让我们同时思考收益、损失与资金安排；它不能把未知的未来变成已知，也不能让不可靠的概率估计突然可靠。

先算一次交易的期望值

在只有两种结果的简化情景中：

期望净收益 = 胜率 × 平均盈利 − 败率 × 平均亏损 − 成本

假设 90% 的概率赚 1 元，10% 的概率亏 15 元，不计成本，期望值为 0.9 − 1.5 = −0.6 元。胜率很高，仍是负期望。

反过来，若 40% 的概率赚 3 元，60% 的概率亏 1 元，期望值为 1.2 − 0.6 = 0.6 元。亏损次数更多，却可能具有正期望。

这些数字是假设，并不是可执行策略。现实中的收益不只两种，平均亏损也可能掩盖极端尾部事件。把历史上没有出现过的大亏视为不可能，是非常危险的简化。

正期望与长期复利，不是同一个目标

假设资产先上涨 50%，再下跌 50%。两期简单收益的算术平均为零，但资金从 100 变成 150，再变成 75，实际亏损 25%。

资金会沿着乘法路径变化，因此收益波动与亏损深度会影响复利。亏损 50% 后需要上涨 100% 才能回到原点；如果仓位或杠杆让损失触及强平，未来的平均优势甚至没有机会实现。

大数定律也不是“交易次数越多就必然赚钱”。经典独立同分布情景下，样本均值在适当条件下趋向总体期望；更一般的形式需要另外的依赖与稳定性条件。现实市场可能有相关性、结构变化和厚尾，重复很多次并不会自动满足这些前提。

凯利公式究竟在优化什么

凯利准则的思想，是在特定概率模型中最大化长期对数财富增长，而不是让每一次交易最安全，也不是让短期亏损最小。其原始讨论来自 Kelly 的《A New Interpretation of Information Rate》。

对一种特别简单的二元下注：投入资金的比例为 f，获胜时每单位下注净赚 b，失败时损失该笔下注，胜率为 p，败率 q = 1 − p。若机会可按相同条件重复、概率与赔率已知，且忽略费用等约束，常见公式为：

f* = (b × p − q) ÷ b

假设 p = 55%，b = 1，则 f* = 10%。这表示在该模型中，每轮下注当前资金的 10%，并不表示任何“胜率 55% 的股票”都应占账户 10%。股票不会天然只有翻倍与归零两种结果，多项同时持仓也不能分别计算后直接相加。

若公式给出负值，在不允许做反向下注的设定下意味着不下注，而不是机械建立负仓位。模型的交易权限与实际产品结构必须明确。

概率只差一点，结果就可能完全不同

继续看 55% 胜率、盈亏对称的例子。若真实胜率其实只有 50%，按 10% 比例反复下注，每轮的期望对数增长为：

0.5 × ln(1.1) + 0.5 × ln(0.9)
= 0.5 × ln(0.99)
< 0

原本以为存在的优势消失后，波动会侵蚀复利。现实中胜率和赔率往往来自有限样本，而且可能随竞争、成本和市场环境变化，这正是直接使用估计凯利仓位的主要难点。

降低为“半凯利”或更小比例，可以在相同模型下缓和波动和参数误差的影响，但不能修复一个根本不存在的优势。也不能保证回撤不超过某个水平。分数凯利仍然依赖模型，而非独立的安全认证。

生存约束应该放在最前面

真实投资还要考虑同时持仓的相关性、跳空、融资追索、流动性、生活开支和心理承受能力。一个理论上适合无限次重复的策略，可能不适合需要几年后支付教育或住房费用的家庭。

有时最合理的答案不是找到“最优 f”，而是承认概率估计不够可靠，降低风险甚至不参与。看起来算得精细，不代表不确定性已经变小。

更有用的顺序是：先判断优势证据是否充分，再评估损失分布和相关性，最后在资金期限与最大可承受损失约束下讨论仓位。概率论帮助人更诚实地面对未知，而不是为重仓寻找一个数学化的理由。